Señal Exponencial

Señales Exponenciales

Estas señales no sólo ocurren con frecuencia, sino que además sirven como bloques fundamentales a partir de los cuales se pueden construir muchas otras señales.

Señales Exponenciales Contínuas:

Existen diferentes señales según los valores de a y b, diferenciándose básicamente tres casos:

Señales Exponenciales Reales:

	A Real, a <> 0, b = 0
	Si a es positiva, entonces conforme t se incrementa *x(t)* es una exponencial creciente.
	Si a es negativa, entonces *x(t)* es una exponencial decreciente.

Ejemplos: A =1, a = 0.3, b = 0
A =1, a = -0.3, b = 0

Señales Exponenciales Complejas:

	A Real, a = 0, b <> 0
	Esta señal, muy usada para describir muchos procesos físicos, es periódica con período .
	Usando la relación de Euler se puede escribir en términos de señales senoidales: x(t) = ACos( b t ) + j ASen( b t )

Ejemplo: A =1, a = 0, b = 2
Real[ x(t) ], Imag[ x(t) ]

Señales Exponenciales Generales:

	A Real, a <> 0, b <> 0
	El caso más general de una exponencial compleja.
	Si a >0, *x(t)* corresponde a senoidales multiplicadas por una exponencial creciente.
	Si a >0, *x(t)* corresponde a senoidales multiplicadas por una exponencial decreciente
	Usando la relación de Euler se puede escribir: x(t) = Ae^at[Cos( b t ) + j Sen( b t )]

Ejemplo: A =1, a = -0.3, b = 5
Real[ x(t) ], Imag[ x(t) ]

Señales Exponenciales Discretas:

Igualmente, según los valores de a y b, pueden diferenciarse básicamente tres casos:

Señales Exponenciales Reales:

	A Real, a <> 0, b = 0
	Una expresión más general de *x[n]* sería: *x[n]* = cⁿ , donde c = *(e^a)*
	Si a > 0 (c > 1), entonces *x[n]* es una exponencial creciente.
	Si a < 0 (c < 1), entonces *x[n]* es una exponencial decreciente.

Ejemplos: A =1, a = 0.34 (c = 1.40), b = 0
A =1, a = -0.28 (c = 0.75), b = 0

imag049.gif (3130 bytes)
Ejemplo: A =1, a = 0, b = 0.6283
(Periódica, N = 10)
Real[ x(t) ], Imag[ x(t) ]

Señales Exponenciales Complejas:

	A Real, a = 0, b <> 0
	Esta señal, es periódica con período N si, siendo N y m enteros, en caso contrario la señal es aperiódica.
	Usando la relación de Euler se puede escribir en términos de señales senoidales: x[n] = ACos( b n ) + j ASen( b n )

imag049.gif (3130 bytes)
Ejemplo: A =1, a = 0, b = 4 (Aperiódica)
Real[ x(t) ], Imag[ x(t) ]

Señales Exponenciales Generales:

	A Real, a <> 0, b <> 0
	Usando la relación de Euler se puede escribir: x[n] = Acⁿ[Cos( b n ) + j Sen( b n )]

	Si a > 0 (c > 1), entonces *x[n]* es una senoidal creciente.
	Si a < 0 (c < 1), entonces *x[n]* es una senoidal decreciente.

Ejemplo: A =1, a = -0.28 (c =0.75),
b = 0.6283
Real[ x(t) ], Imag[ x(t) ]

Comparación de Señales Exponenciales Contínuas (e^{^jwot}) y Discretas (e^{^jwon}):

e^{^jwot}

Señales distintas para distintos valores de w_o

Periódica para cualquier elección de w_o

Frecuencia fundamental w_o

Período fundamental:
w_o = 0; indefinido
w_o <> 0;

e^{^jwon}

Señales idénticas para valores de w_o separados por múltiplos de 2 pi()

Periódica sólo si , con N y m enteros.

Frecuencia fundamental w_o / m

Período fundamental:
w_o = 0; indefinido
w_o <> 0;

* (m y N no tienen factores en común)